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解证几何问题时，时常需要在图中另外添加一些线，频繁称为赞成线.在图中一般画为虚线.常见的赞成线主要为直线、线段、射线、圆或圆弧等.以下选题来自《初中数学竞赛中的平面几何》

为什么要添加赞成线呢？

解几何题是从题设条目启程，诈欺正确的逻辑推理，赢得题断的成果.咱们遭受的几何题并非一起要添线，有些则需要添线.为什么有的几何题一定要添线呢？咱们从以下两个具体的例题说念起。

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解法分析：率先把柄题意画出相应的图形：

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要证据AE=AG，只需要证据∠G=∠3，问题的关节在于如何由AB=CD等题设来证得∠G=∠3。由于AB，CD的位置漫衍，它们与∠G和∠3的酌量不易径直不雅察到。因此，必须设法添加赞成线使得相对漫衍的景况变得相对皆集，使它们之间的酌量由遮挡变为显著。

为此，需要构造与∠G和∠3很是的等角。连结BD后，取BD的中点O，连结OE、OF。通过构造中位线，将AB=CD篡改到了OE=OF，这么将∠G篡改到了∠1，∠3篡改到了∠2，使通盘联系联的元素都皆集到了△OEF中。因此，只需要证据∠1=∠2，就不错惩处问题。

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解法分析：由已知中AB=AC=AD=a，可知B、C、D在以A为圆心，a为半径的圆上，因此需要作念出这个“隐圆”。这么就怒放了念念路，使得隐含在题中的关系得以透露。

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因此，延迟BA交圆A于点E，连结DE。易证∠EDB=90°，由CD//AB，可得DE=BC=b，因此借助勾股定理不错计议BD的长度：

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通过上述两个例子不错标明，解证几何问题，即是由已知启程，用逻辑推理搭建已知和未知的桥梁。因此，关于具体问题具体分析，当条目和论断之间莫得明确的指向性时，咱们需要守望添加赞成线，创造篡改的条目，从而将已知和未知中的联系元素有机地串联起来，从而灵验地惩处问题。

添加赞成线有以下三个作用：① 使复杂的问题篡改为咱们所熟谙或早已掌执、惩处的问题，比如在“证据中位线定理”时，咱们不错添加赞成线，将问题篡改“借助三角形中位线定理进行证据”；② 使图中隐含的关系清醒出来(例2)；③ 使不径直酌量的元素发生酌量。

关于赞成线的添加不是所心所欲的，当遭受某些条目不成径直与论断发生酌量时，联系我们为发掘、创设这些条目酌量的道路而射线和决定在图中添加什么赞成线， 公司简介若何添加赞成线。这才是正确相接添加赞成线的治安和精髓。

添线的原则

原则一 化繁为简

添加赞成线有助于：① 把复杂的图形化为浅近的图形；② 把复杂的图形分割成几许个浅近的问题；③ 把不法例的图形篡改为法例的图形。

不论添线如何复杂， 联系我们仔细分析，都是为了把某方面的“繁”化为“简”，从而以“简”来独霸“繁”。

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解法分析：由于∠BCA=20°，∠EDC=80°，是以CE=CD。径直计议两个三角形的面积很贫瘠，要遭受求绝顶角的锐角三角比。

但缜密到∠ABC=60°这个条目，把△ABC回复为一个边长为1得正三角形。为此，延迟BA到G，使BG=BC=1，如下图所示，连结CF，则易知△ABC≌△FGC，且AC=CF，∠ACF=20°。

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于是△ACF∽△ECD，又CA=2CE，是以：

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此题添线后从标明看使图形变得复杂了，但本色上则使用不法例图形篡改为法例的正三角形，达到化繁为简的估量打算。同期也使咱们捕捉到了解答本题的道路。

原则二 相对皆集

添设赞成线时常将已知和未知中的酌量元素皆集在归并个三角形中或皆集到两个联系(全等、双方对应很是、同样)的三角形中。唯有元素相对皆集，才便于酌量与比拟，从能充分应用酌量的几何定理。

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解法分析：要证BD+CE>DE。需要设法把三条线段皆集到归并个三角形中，企业文化为此，由M是BC的中点，DM⊥EM，使咱们理猜测不妨用轴对称“翻折”的治安。如图所示，在DM的延迟线上取D'，使MD'=MD。连结ED'，CD'，易证ED'=DE，CD'=BD(△BDM≌△CD'M)。最终把BD，DE，CE三条线段篡改为CD'，ED'，CE，皆集到△CED'中，从而利用“双方之和大于第三边”得证。

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添线的妙技

添加赞成线，从全体上看，不错相接为把图形的一部分变换到另外的位置，以此来收尾条目和论断的酌量。这些变换好多，常用的是平移和旋转，它不改变线段的长度与角的大小。治安一 平移

时常通过绝顶点添平行线，或利用三角形中位线性质构造平行线，使图中的某些线段保持平行，或使某些角平移到新的位置。

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解法分析：本题同例1的解题政策如出一辙。即通过线段的平移将∠1和∠2搁置在一个三角形中。

如左图，通过“四次”平移，构造平行线四边形ABMF和平行四边形DFNC，继而构造全等△BME和△ENC，从而证据E为MN的中点，利用等腰三角形的三线合一证据∠3=∠4。利用MF//AB，CD//FN，得∠1=∠3，∠2=∠4，继而得证。

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如右图，借助三角形的中位线定理，通过连结BD，构造AB和CD的一半，得等腰△GEF，从而得证。

治安二 旋转

在具有等边和绝顶角的图形中，将图形一部分绕定点旋转一绝顶角，时常使漫衍的条目相对皆集，骄横出几许新的酌量。

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解法分析：本题中要证据∠AMB=∠DMC，由于∠AMB和∠2互余，而∠1=∠2，同期AB=AC，因此守望构造与△ABM全等的△ACN，相配于将△ABM平移加旋转得△ACN。再证据△DMC和△DCN全等即可得证。

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换取的惩处旅途在2023上海长宁二模25题第(3)问中也有体现：

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解法分析：本题中要证据A、P、C三点共线，不错通过证据∠APB+∠BPC=180°进行证据。由于AP、BP、CP三条线段的位置比拟漫衍，因此不错通过旋转△ABP(绕点B顺时针旋转90°)至△BCP'，借助勾股定理逆定理得∠PCP'=90°，从而把柄∠PCP'+∠PBP'=90°，得P、B、P'、C四点共圆，继而得∠BPC与∠BP'C互补，而∠BP'C=∠APB，继而得证。

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常见同样模子中的“手拉手模子”以及“半角模子”即是利用旋转赢得同样三角形或全等三角形收尾线段的篡改。

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——The  End——

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